신호의 강도와 데시벨

〈모바일통신시스템〉 수업 노트

데시벨(Decibel)

신호의 강도를 측정하는 데 있어서 널리 쓰이는 값으로 데시벨(dB)이 있다. 흔히 일반에서는 소리의 세기를 표현하는 데 자주 활용되는데, dB는 실제로는 어떤 두 신호 간의 상대적인 크기 차이를 표현하기 위해 정의되었다.

비교할 어떤 신호의 에너지(Power) $P_1$, $P_2$에 대해서, dB는 다음과 같이 정의된다:

\[?\text{dB} = 10 \times \log_{10}{\frac{P_2}{P_1}}\]

이와 같이 표현된다면 $P_1$에 대한 $P_2$의 상대적인 크기를 구할 수 있다.

이 표현은 일반적인 청각 반응을 나타내는데, 실제로는 10000배 커진 소리에 대해서 청각적으로는 40배 커진 소리로 인식하게 된다는 의미와 같다.

\[10 \times \log_{10}{\frac{10000}{1}} = 40 \text{dB}\]

전압에 대한 데시벨 계산

데시벨은 어떤 신호의 에너지, 혹은 전력에 대해 정의된다. 만약 전압에 대해서 데시벨을 계산하고자 한다면, 전압 값을 전력에 대해 표현할 필요가 있다.

전력 $P$, 전압 $V$, 저항 $R$에 대해서, 다음과 같은 관계를 가지고 있음에서 데시벨 계산 식을 변환할 필요가 있다.

\[P = \frac{V^2}{R}\] \[\begin{aligned} \text{dB (for volts)} &= 10 \log {\frac{P_2}{P_1}} \\ &= 10 \log {\frac{{V_1}^2/R}{{V_2}^2/R}} \\ &= 10 \log ({\frac{V_1}{V_2}})^2 \\ &= 20 \log {\frac{V_1}{V_2}} \end{aligned}\]

만약 0.1v의 전압을 가진 원본 신호 $f(t)$ 가 어떤 장치를 통과한 후 5v의 출력 신호 $g(t)$ 를 갖게 되었다면, 다음과 같이 표현할 수 있다:

\[\begin{aligned} \Delta \text{dB} &= 20 \log \frac{g(t)}{f(t)} \\ &= 20 \log \frac{5 \text{v}}{0.1 \text{v}} \\ &\approx 34 \text{dB} \end{aligned}\]

이득(게인; Gain)과 손실(로스; Loss)

데시벨 표현의 장점으로는, $f(t)$와 $g(t)$의 역관계를 음수 곱으로 표현 가능하다는 것이다.

\[\begin{aligned} \Delta \text{dB} &= 20 \log \frac{f(t)}{g(t)} \\ &= 20 \log \frac{0.1 \text{v}}{5 \text{v}} \\ &\approx -34 \text{dB} \end{aligned}\]

이를 정리하여, 신호의 dB 값이 증가하는 경우, 양수 값으로 표현된다. 이것을 이득으로 정의한다. 역으로 신호의 dB값이 줄어들어 음수가 되는 경우 손실로 정의한다.

표시	해석
$> 0$	이득, 게인
$< 0$	손실, 로스
$= 0$	변화 없음

이들 게인과 로스에 대해서 널리 알려진 근사 값이 있다.

값	해석
3dB	전력값이 두 배
-3dB	전력값이 절반
6dB	전압값이 두 배
-6dB	전압값이 절반
10dB	전력값이 10배
-10dB	전력값이 0.1배
20dB	전압값이 10배
-20dB	전압값이 0.1배
7dB	전력: 10dB(10배) - 3dB(2배) = 7dB(5배 = 10 / 2)
13dB	전력: 10dB(10배) + 3dB(2배) = 13dB(20배 = 10 * 2)
46dB	전압: 20dB(10배) + 20dB(10베) + 6dB(2배) = 46dB(200배 = 10 * 10 * 2)

이들 값은 데시벨 정의로부터 획득할 수 있다.

\[\begin{aligned} 10 \log \frac{2 P_0}{P_0} &= 10 \log 2 \\ &\approx 3.01 \end{aligned}\]

데시벨 수식의 변형

데시벨 수식을 변형하면 다음과 같이 어떠한 변수에 대해 수식을 정리할 수 있다.

\[P_1 = P_0 \times 10 ^ {\text{dB value} / 10} \\ P_0 = \frac{P_1}{10 ^ {\text{dB value} / 10}}\] \[V_1 = V_0 \times 10 ^ {\text{dB value} / 20} \\ V_0 = \frac{V_1}{10 ^ {\text{dB value} / 20}}\]

다만 이들 수식은 데시벨 정의의 단순 변형일 뿐이므로, 추가로 학습할 소요는 크지 않다.

어떤 신호가 13dB 증폭되어 1.2W를 나타내었다고 하였을 때, 위 수식을 사용하지 않고 데시벨 정의만을 사용하여 원래의 신호 값 $x$를 계산할 수 있다.

\[\begin{aligned} 13 \text{dB} &= 10 \log \frac{1.2}{x} \\ 1.3 &= \log \frac{1.2}{x} \\ 10^{1.3} &= \frac{1.2}{x} \\ x &\approx 0.06 \end{aligned}\]

신호의 절대 강도

일반에서 데시벨이 볼륨의 크기로서 활용되면서, 데시벨은 신호의 절대적인 볼륨을 나타내는 듯하게 활용되고 있다.

실제로 데시벨을 상대적인 단위가 아니라, 절대적인 값으로 표현하는 것은 유용한 상황이 있으므로, 절대적인 강도로서 데시벨을 표현하는 방법이 정의되었다.

정확히는 신호를 어떠한 단위 신호 값과 상대 비교하는 것으로서 절대 강도를 정의한다.

$1 \text{mW}$ 에 대한 데시벨을 $\text{dBm}$ 으로 정의하고, $1 \text{W}$ 에 대한 데시벨을 $\text{dBW}$ 로 정의하여 절대 강도를 표현한다.

\[\begin{aligned} \text{dBm} &= 10 \times \log \frac{\text{Power}}{1 \text{mW}} \\ \text{dBW} &= 10 \times \log \frac{\text{Power}}{1 \text{W}} \end{aligned}\]

널리 쓰이는 dBm은 다음과 같이 계산하거나 확인할 수 있다.

Power in Watts	Power in dBm
$0.1 \text{mW}$	$-10 \text{dBm}$
$1 \text{mW}$	$0 \text{dBm}$
$1 \text{W}$	$30 \text{dBm}$
$1000 \text{W}$	$60 \text{dBm}$

mW와 W는 1000배 차이이므로, $10 \log 1000 = 30$, $10 \log (1000 \cdot 1000) = 60$ 으로 계산할 수 있다.

데시벨의 연산

데시벨에 있어서 다음의 연산이 가능하다.

\[\begin{aligned} (A \text{dB}) \pm (B \text{dB}) &= (A \pm B) \text{dB} \\ (A \text{dBm}) \pm (B \text{dB}) &= (A \pm B) \text{dBm} \\ (A \text{dBm}) - (B \text{dBm}) &= (A - B) \text{dB} \\ \end{aligned}\]

\[(A \text{dB}) \pm (B \text{dB}) = (A \pm B) \text{dB}\]

dB는 각 신호 세기의 상대적인 비율을 표현하므로, dB값 간의 덧셈은 상대적인 비율을 증폭하거나 감쇄하는 측면에서 이해할 수 있다.

예를 들어, 10dB 증폭기 뒤에 3dB 감쇄기가 있다면, 전체 시스템의 게인은 $10 \text{dB} + (-3 \text{dB}) = 7 \text{dB}$ 으로서 간주되어 계산 가능하다.

\[(A \text{dBm}) \pm (B \text{dB}) = (A \pm B) \text{dBm}\]

dBm은 어떤 신호의 절대적인 강도를 표현한다. 따라서 어떤 신호 $A$ 에 대해서 dB의 덧셈은, 변화량 값 dB표시의 $B$ 만큼의 증폭 혹은 감쇄 처리로서 이해할 수 있다.

이 수식의 계산은 신호에 이득/손실(변화량)을 실제로 적용하는 과정으로서 계산 가능한데, 10dBm의 신호가 3dB 증폭기를 통과하면, 13dBm의 신호로 계산된다.

\[(A \text{dBm}) - (B \text{dBm}) = (A - B) \text{dB}\]

dBm으로 표시된 어떤 두 신호의 절대적인 값은, 비율을 구하는 데 사용할 수 있다. dB는 로그 스케일로 계산되어 $-$ 연산이 실제로는 나눗셈 연산(혹은 분수)이므로, 연산의 결과로서 두 신호 전력 사이의 비율을 획득할 수 있다.

출력 전력이 20dBm, 입력 전력이 10dBm인 회로의 이득은 $20 - 10 = 10 \text{dB}$ 로서 계산된다. dB는 두 신호의 상대적인 크기 차이를 표현하므로, $10 \log \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}$ 으로 바로 계산할수도 있다.

\[\begin{aligned} A \text{dBm} &= 10 \log{\frac{a \text{mW}}{1 \text{mW}}} \\ B \text{dBm} &= 10 \log{\frac{b \text{mW}}{1 \text{mW}}} \\ A \text{dBm} - B \text{dBm} &= 10 \log{\frac{a \text{mW}}{1 \text{mW}}} - 10 \log{\frac{b \text{mW}}{1 \text{mW}}} \\ A \text{dBm} - B \text{dBm} &= 10 \log \frac{a \text{mW}}{b \text{mW}} \\ &= (A - B)\text{dB} \end{aligned}\]

주목할만한 점은, $A \text{dBm} + B \text{dBm}$ 은 고려되지 않는다는 것이다. 이것은 로그 스케일 계산에 있어서 이 계산으로부터 얻어낼 수 있는 사실이, 최소한 직관적으로 기대할만한 것(dBm 신호 두 개의 더하기)과는 거리가 멀기 때문이다.

\[\begin{aligned} A \text{dBm} &= 10 \log{\frac{a \text{mW}}{1 \text{mW}}} \\ B \text{dBm} &= 10 \log{\frac{b \text{mW}}{1 \text{mW}}} \\ A \text{dBm} + B \text{dBm} &= 10 \log (a \times b) \end{aligned}\]

그 정의 상 두 신호의 전력을 합치려고 한다면, $A \text{dBm} + B \text{dBm}$ 이 아니라, 각 신호의 전력 값인 $a$, $b$에 대해서 더한 후 dBm 값을 구해야 한다. 예를 들어 $a = 10, b = 10$이라면 다음과 같다:

\[\begin{aligned} 10 \text{dBm} &= 10 \log{10 \text{mW}} \\ 10 \text{mW} + 10 \text{mW} &= 20 \text{mW} \\ 10 \log_{10}20 &\approx 13 \text{dBm} \\ &\ne 20 \text{dBm} \end{aligned}\]

예시 상황

신호 $A$ 가 $40 \text{dBm}$, 신호 $B$ 가 $2 \text{dBW}$ 라면, $1 \text{dBW} = 30 \text{dBm}$ 이므로, $B = 30 + 2 = 32 \text{dBm}$ 이다. 이 변환을 통해 신호 $B$에 대한 신호 $A$의 강도를 $40 \text{dBm} - 32 \text{dBm} = 8 \text{dBm}$ 으로 구할 수 있다.

\[\begin{aligned} A &= 40 \text{dBm} \\ B &= 2 \text{dBW} = 1 \text{dBW} + 2 \text{dBm} \\ &= 32 \text{dBm} \\ A - B &= 8 \text{dBm} \end{aligned}\]

신호 $200 \text{mW}$ 는 약 $23 \text{dBm}$ 으로 표현할 수 있다.

\[\begin{aligned} 10 \log_{10} 200 &= 10 \log_{10} (2 \times 100) \\ &= 10 (\log_{10}2 + \log_{10}{100}) \\ &\approx 10(0.301 + 2) \\ &= 23.01 \text{dBm} \end{aligned}\]

출력이 $7 \text{dBW}$ 인 오디오 앰프릐 전력은 다음과 같이 구할 수 있다.

\[\begin{aligned} 7 \text{dBW} &= 10 \log_{10}{\frac{x \text{W}}{1 \text{W}}} \\ 0.7 \text{dBW} &= \log_{10}{\frac{x \text{W}}{1 \text{W}}} \\ 10^{0.7} &= x \approx 5.01 \end{aligned}\]