자유공간에서의 전파

〈모바일통신시스템〉 수업 노트

등방형 방사기

무선통신시스템에서는 모든 방향으로 똑같은 이득을 가지고 전력을 방사하는 이상형 안테나, 등방형 방사기(isotropic radiator)를 가정하여 전파의 세기를 가정한다.

등방형 안테나의 전파 범위는 구면으로 간주되어 송신전력 $P_t$ (W)와 안테나로부터의 거리 $d$ (m)에 대해서 다음과 같이 표현된다.

\[P_D = P_t / 4 \pi d^2 (W/ m^2)\]

예시 계산

만약 송신전력 100와트의 등방형 방사기가 방사하는 신호를 10km 떨어진 점에서 수신한다면, 수신되는 신호의 세기는 다음과 같이 계산된다.

\[\begin{aligned} P_D &= \frac{100}{4 \pi \times (10 \times 10^3 m)^2} \\ &\approx 7.96 \times 10^{-8} W/m^2 \\ &= 79.6 nW/m^2 \end{aligned}\]

안테나 이득 $G_t$

안테나에서 전파를 송수신하면서 안테나의 송수신 감도를 확인하기 위해 안테나 이득을 정의한다. 안테나 이득은 어떠한 레퍼런스 안테나 전력 밀도를 기준으로, 실제로 어떠한 지향성 안테나의 전력 밀도가 얼마나 더 큰지를 나타내는 지표이다. 이 때 레퍼런스 안테나는 등방형 방사기를 기준으로 한다.

안테나 이득 $G_t$ 는 실제 안테나로부터 주어진 방향에서의 전력 밀도 $P_{DA}$, 동일한 전력을 가진 등방성 안테나로부터 같은 거리에서의 전력 밀도 $P_{DI}$ 의 비율로 정의된다.

\[G_t = \frac{P_{DA}}{P_{DI}}\]

• $P_{DA}$: 실제 안테나로부터 주어진 방향에서의 전력 밀도
• $P_{DI}$: 동일한 전력을 가진 등방성 안테나로부터 같은 거리에서의 전력 밀도

이와 같이 정의함으로써, “이득이 1인 등방성 안테나에 비해 내가 사용하는 안테나가 특정 방향으로 몇 배나 더 강한 전력을 보내는가”를 평가한다.

안테나 이득도 신호의 세기와 마찬가지로 로그 스케일로 표현하는 것이 더 편할 때가 있다. 그래서 안테나 이득도 데시벨을 이용해서 정의할 수 있다. dBi(Decibel relative to isotropic)로 다음과 같이 표현한다.

\[G_t \left[\text{dBi}\right] = 10 \log_{10} \left(\frac{P_{DA}}{P_{DI}}\right)\]

안테나 이득은 결국 등방형 안테나와 지향성 안테나의 전력 밀도의 비율이므로, 지향성을 가지는 안테나에 대해 수신 전력 밀도를 계산할 때 $G_t$ 를 안다면, $G_t$ 를 곱하여 계산한다.

\[P_{DA} = G_t \times P_{DI}\] \[\begin{aligned} P_D &= P_{DA} = G_t \times P_{DI} \\ &= G_t \cdot \frac{P_t}{4 \pi d^2} \\ &= \frac{P_t G_t}{4 \pi d^2} \end{aligned}\]

수신 전력 밀도 $P_D$ 는 실제 안테나로부터 주어진 방향에서의 전력 밀도이므로, 지향성 안테나의 수신 전력 밀도 $P_{DA}$ 와 같다고 가정하고, 안테나 이득 $G_t$ 와 송신 전력 $P_t$ 의 곱으로 표현, $P_D$ 와 $P_t$, $G_t$ 의 관계를 확인할 수 있다.

EIRP: 최대 송신 전력, ERP: 실효 송신 전력

이렇게 $P_t$ 와 $G_t$ 를 구했을 때, 전파가 특정 방향으로 얼마나 강하게 방사되는지 평가할 수 있다.

최대송신전력(EIRP; Effective Isotropic Radiated Power)이라고 정의되는 지표가 있는데, 송신되는 전력 $P_t$ 와 안테나 이득 $G_t$ 를 곱한 값이다.

$P_t$ 와 $G_t$ 는 앞서 $P_D$ 와의 관계에서 확인한 바와 같으므로 다음과 같이 정리할수 있기도 하다.

\[\begin{aligned} \text{EIRP} &= P_t \cdot G_t \\ &= P_D \cdot 4 \pi d^2 \end{aligned}\]

실효 송신 전력(ERP; Effective Radiated Power)은 등방성 안테나가 아니라 지향성을 갖는 반파장 다이폴 안테나(half-wave dipole antenna)를 기준으로 하는 지표이다. 일반적으로 등방성 안테나보다 약 1.64배(2.15dB)의 지향성 이득을 가진다.

\[\begin{aligned} \text{ERP} \text{[dBm]} &= \text{EIRP} \text{[dBm]} - G_d \text{[dB]} \\ &= P_t \cdot G_t - 2.15 \text{[dB]} \end{aligned}\]

ERP는 반파장 다이폴 안테나를 기준으로 하는 지표이므로, 로그 스케일 표현에서 조금 다른 단위를 사용한다. 다이폴 안테나에 대한 상대적 데시벨 dBd(Decibel relative to dipole)은 다음과 같은 관계를 갖는다.

\[G_t \left[\text{dBd}\right] = G_t \left[\text{dBi}\right] - 2.15 \text{[dB]}\]

예시 계산

5dBi의 이득을 가진 안테나가 송신전력 100W의 신호를 방사할 때, 10km 떨어진 점에서의 EIRP와 전력 밀도는 다음과 같이 계산한다.

우선 처음 전력비에 대한 이득을 획득하기 위해 5dBi를 선형 스케일로 변환한다.

\[G_t = \log^{-1}(\frac{5}{10}) = 10^{\frac{5}{10}} \approx 3.16\]

혹은 dBi로 표현된 관계식을 사용한다.

\[\begin{aligned} G_t \left[\text{dBi}\right] &= 10 \log_{10} \left(\frac{P_{DA}}{P_{DI}}\right) \\ 5 &= 10 \log_{10} \left(\frac{P_{DA}}{P_{DI}}\right) \\ \frac{P_{DA}}{P_{DI}} &= 10^{\frac{5}{10}} \approx 3.16 \end{aligned}\]

이렇게 획득한 값은 주어진 방향에서 EIRP가 실제 송신 전력의 약 3배임을 의미한다. 따라서 EIRP는 다음과 같이 계산된다.

\[\begin{aligned} \text{EIRP} &= G_t P_t = \frac{P_{DA}}{P_{DI}} \cdot P_t \\ &= 3.16 \cdot 100 \text{W} \\ &= 316 \text{W} \end{aligned}\]

전력밀도는 EIRP로부터 도출할 수 있다.

\[\begin{aligned} P_D &= \frac{\text{EIRP}}{4 \pi d^2} = \frac{316}{4 \pi \times (10 \times 10^3)^2} \\ &\approx 2.51 \times 10^{-7} W/m^2 \\ &= 251 nW/m^2 \end{aligned}\]

전자장 강도

전자장 강도(electric field strength)는 전자기파의 세기를 표현하는 또 다른 지표이다. 단위는 V/m(볼트/미터)로 표현된다.

미터 당 전자장 강도 $\epsilon$ 는 전력 밀도 $P_D$ 와 다음과 같은 관계를 갖는다. 이 관계는 전력 $P$, 전압 $V$, 저항 $R$의 관계를 전자 혹은 자기장 단위로 표현한 것이다.

\[P_D = \frac{\epsilon^2}{Z}\] \[P = \frac{V^2}{R}\]

자유공간의 임피던스 특성 $Z_0$ 은 약 377 $\Omega$ 이다. 따라서 자유공간에서의 전자장 강도 $\epsilon$ 는 다음과 같이 표현된다.

\[\begin{aligned} \epsilon &= \sqrt{Z_0 P_D} = \sqrt{377 \cdot P_D} \\ &= \sqrt{377 \cdot \frac{\text{EIRP}}{4 \pi d^2}} \approx \frac{\sqrt{30 \text{EIRP}}}{d} \\ \end{aligned}\]

예시 계산

만약 위에서 구했던, EIRP가 316W인 신호가 10km 떨어진 점에서 수신된다면, 전자장 강도는 다음과 같이 계산된다.

\[\begin{aligned} \epsilon &= \sqrt{377 P_D} = \sqrt{377 \times 251.5 \times 10^{-9}} \\ &= \sqrt{9.48 \times 10^{-5}} \\ &\approx 9.74 \times 10^{-3} V/m \\ &= 9.74 mV/m \end{aligned}\]

혹은

\[\begin{aligned} \epsilon &= \frac{\sqrt{30 \text{EIRP}}}{d} = \frac{\sqrt{30 \times 316}}{10 \times 10^3} \\ &= \frac{\sqrt{9480}}{10^4} \\ &\approx \frac{97.4}{10^4} \\ &= 9.74 \times 10^{-3} V/m \\ &= 9.74 mV/m \end{aligned}\]

안테나의 유효면적

안테나의 유효면적(effective area)은 안테나가 수신하는 전력을 표현하는 지표이다. 안테나의 유효면적 $A_\text{eff}$ 는 다음과 같이 정의된다.

\[A_\text{eff} \text{[m}^2\text{]} = \frac{P_r \left[\text{W}\right]}{P_D \left[\text{W/m}^2\right]}\]

이 관계를 이용하여 수신전력, 안테나의 이득과의 관계를 표현하거나 Friis 전송 방정식을 활용할 수 있다.

\[\begin{aligned} P_r &= A_\text{eff} P_D \\ &= A_\text{eff} \cdot \frac{P_t G_t}{4 \pi d^2} \end{aligned}\]

* 이 관계에서 안테나의 면적이 클 수록 더 많은 에너지를 흡수한다는 것을 알 수 있다.

자유 공간에서 두 안테나 사이의 송수신 전력 관계를 나타내는 데 있어 Friis 전송 공식을 사용할 수 있다. Friis 공식은 수신 전력 $P_r$ 가 송신 전력 $P_t$, 송신 안테나 이득 $G_t$, 수신 안테나 이득 $G_r$, 그리고 송수신 간의 거리 $d$ 와 파장 $\lambda$ 의 관계로 정의된다.

\[P_r = P_t G_t G_r \left(\frac{\lambda}{4 \pi d}\right)^2\]

Friis 공식을 활용해 안테나의 유효면적을 파장과 송신 안테나 이득으로 표현할 수 있다.

\[\begin{aligned} \frac{P_t G_t}{4 \pi d^2} A_\text{eff} &= P_t G_t G_r \frac{\lambda^2}{(4 \pi)^2 d^2} \\ \frac{\cancel{P_t G_t}}{\cancel{4 \pi d^2}} A_\text{eff} &= \cancel{P_t G_t} G_r \frac{\lambda^2}{4 \pi\cdot \cancel{4 \pi d^2}} \\ A_\text{eff} &= \frac{\lambda^2 G_r}{4 \pi} \end{aligned}\]

따라서 수신 안테나의 이득 $G_r$ 도 안테나의 유효면적 $A_\text{eff}$ 와 파장 $\lambda$ 의 관계로 표현할 수 있다.

\[G_r = \frac{4 \pi A_\text{eff}}{\lambda^2}\]

송신기로부터 거리가 $d$ 떨어진 수신기의 수신전력

지금까지 도출된 관계를 정리하면 다음과 같다.

\[\begin{aligned} P_r &= A_\text{eff} P_D \\ &= A_\text{eff} \cdot \frac{P_t G_t}{4 \pi d^2} \\ &= \frac{\lambda^2 G_r}{4 \pi} \cdot \frac{P_t G_t}{4 \pi d^2} \\ &= P_t G_t \cdot G_r \left(\frac{\lambda}{4 \pi d}\right)^2 \\ &= \text{EIRP} \cdot G_r \left(\frac{1}{4 \pi d / \lambda}\right)^2 \\ &= \text{EIRP} \cdot G_r \frac{1}{L_{fs}} \end{aligned}\]

• $P_r$: 수신 전력 [dBm]
• $P_t$: 송신 전력 [dBm]
• $G_t$: 송신 안테나 이득 [dBi]
• $G_r$: 수신 안테나 이득 [dBi]
• $d$: 송수신 간의 거리 [km]
• $f$: 주파수 [MHz]
• $L_{fs}$: 자유공간 손실

수신 전력 $P_r$ 은 송신측의 유효 출력인 EIRP와 수신측의 수집 능력인 $G_r$ 의 곱을 기준으로 정의된다. 하지만 전파는 자유 공간을 통과하며 에너지 분산(손실)을 겪게 되는데, EIRP와 $G_r$ 의 곱을 제외한 나머지 항을 손실에 관한 설명으로 간주하고 자유공간 손실(free space loss) $L_{fs}$ 라고 정의한다.

\[L_{fs} = \left(\frac{4 \pi d}{\lambda}\right)^2 = \left(\frac{4 \pi d f}{c}\right)^2\]

dB 단위에서는 위의 관계를 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[\begin{aligned} P_r \left[\text{dBm}\right] &= P_t \left[\text{dBm}\right] + G_t \left[\text{dBi}\right] + G_r \left[\text{dBi}\right] - L_{fs} \left[\text{dB}\right] \\ &= \text{EIRP} \left[\text{dBm}\right] + G_r \left[\text{dBi}\right] - L_{fs} \left[\text{dB}\right] \\ &\approx \text{EIRP} \left[\text{dBm}\right] + G_r \left[\text{dBi}\right] - (32.44 + 20 \log_{10}d + 20 \log_{10}f) \end{aligned}\]

* 자유공간 손실 $L_{fs}$ 가 $32.44 + 20 \log_{10}d + 20 \log_{10}f$ 로 표현되는 이유는, $c = f \lambda$ 식으로부터 도출할 수 있다.

\[c = f \lambda\] \[\begin{aligned} \frac{c^2}{f^2 (4 \pi d)^2} &= \frac{(3 \cdot 10^8) ^2}{f^2 (4 \pi d)^2} \\ &= \left(\frac{(3 \cdot 10^8)}{4 \pi}\right)^2 \left(\frac{1}{f}\right)^2 \left(\frac{1}{d}\right)^2 \\ &= (\frac{3}{40 \pi})^2 (\frac{10^6}{f})^2 (\frac{10^3}{d})^2 \end{aligned}\]