OFDM에서 원형 컨볼루션을 사용하는 이유

〈모바일통신시스템〉 수업 노트

OFDM 시스템에서는 Cyclic Prefix를 덧붙여 OFDM 심볼을 전송함으로서, 간섭 문제에 대처하고 있다. 이 과정의 원리를 채널에 의한 선형 컨볼루션이 원형 컨볼루션으로 전환되었다고 설명되는데, 이 설명이 오히려 구체적인 이해를 방해하는 느낌이 있다.

이 과정은 실제로 그러한 처리가 이루졌다기보다, Tx와 Rx사이의 송수신 과정에서 신호가 겪는 채널 효과를 수학적으로 모델링하면서 이루어지는 설명이다. 다시 말해 채널을 겪으면서 신호는 채널과 개념적으로 컨볼루션되는 것이다.

선형 컨볼루션의 사용

CP를 덧붙이지 않고 OFDM 심볼을 전송하면, 채널에 의해 선형 컨볼루션이 발생하는 것으로 이해할 수 있다. Rx에서 수신한 신호 $y[n]$ 를 Tx에서 전송된 신호 $x[n]$ 와 채널 임펄스 응답 $h[n]$ 의 선형 컨볼루션으로 계산하면 아래와 같다.

\[y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k]\]

$x[n]$, $h[n]$ 을 다음과 같이 정의한다면, 선형 컨볼루션 결과 $y[n]$ 를 계산할 수 있다.

\[x[n] = [1, 2, 3]\] \[h[n] = [4, 5, 6]\] \[\begin{aligned} y[n] &= \begin{cases} y[0] = 1 \cdot 4 = 4 \\ y[1] = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 = 13 \\ y[2] = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 28 \\ y[3] = 2 \cdot 6 + 3 \cdot 5 = 27 \\ y[4] = 3 \cdot 6 = 18 \\ \end{cases} \\ &= [4, 13, 28, 27, 18] \end{aligned}\]

선형 컨볼루션의 결과, 신호 앞 뒤로 원치 않는 신호가 덧붙어 전송된 신호보다 길이가 5로 늘어났다.

원형 컨볼루션의 사용

CP를 덧붙여 OFDM 심볼을 전송하면, 채널에 의해 원형 컨볼루션이 발생하는 것으로 이해할 수 있다. Rx에서 수신한 신호 $y[n]$ 를 Tx에서 전송된 신호 $x[n]$ 와 채널 임펄스 응답 $h[n]$ 의 원형 컨볼루션으로 계산하면 아래와 같다.

\[y[n] = (x \circledast h)[n] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k] h[(n - k) \mod N]\]

앞에서 정의한 $x[n]$, $h[n]$ 을 이용해 원형 컨볼루션 결과 $y[n]$ 를 계산하면 아래와 같다.

\[x[n] = [1, 2, 3]\] \[h[n] = [4, 5, 6]\] \[\begin{aligned} h[(0 - k) \mod N] &= [4, 6, 5] \\ h[(1 - k) \mod N] &= [5, 4, 6] \\ h[(2 - k) \mod N] &= [6, 5, 4] \\ \end{aligned}\] \[\begin{aligned} y[n] &= \begin{cases} y[0] = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 5 = 31 \\ y[1] = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 31 \\ y[2] = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 28 \\ \end{cases} \\ &= [31, 31, 28] \end{aligned}\]

원형 컨볼루션 결과, 신호의 길이는 3으로 유지되었다. CP를 덧붙여 OFDM 심볼을 전송함으로써, 채널에 의한 선형 컨볼루션이 원형 컨볼루션으로 전환되어, 간섭 문제에 대처할 수 있게 되었다.